dolar amerykański(USD): 3,1170




Warning: curl_setopt() function.curl-setopt: CURLOPT_FOLLOWLOCATION cannot be activated when in safe_mode or an open_basedir is set in /home/admin/domains/ciagnik.net/public_html/wiki.php on line 273
Pole powierzchni – Wikipedia, wolna encyklopedia

Pole powierzchni

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, szukaj

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

Ścisła definicja wymaga wykonania pewnej konstrukcji.

Spis treści

edytuj Konstrukcja pojęcia pola

edytuj I Definicja

Najczęściej spotykana definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji:

  1. Pokrywamy całą płaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegających kwadratów o bokach a1.
  2. Liczbę kwadratów mających choćby jeden punkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez n1.

Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz mniejszych bokach a_1>a_2>a_3>\ldots, itd. uzyskujemy ciąg liczb n1,n2,....
Polem powierzchni nazywamy granicę:

S=\lim_{i \to \infty}n_i~a_i^2

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę - choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie ma podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóch rozłącznych figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.

edytuj Problem wyznaczania pól dla wszystkich figur

  • Zbiory
\{(x,y):0<x<1,\ 0<y<1,\ x,y są wymierne  \left \} \right. oraz
\{(x,y): 0<x<1,\ 0<y<1,\ x jest niewymierny lub \ {y} jest niewymierny \left \} \right.
są rozłączne i oba mają zewnętrzną miarę Jordana równą 1. Suma tych dwóch figur (czyli wnętrze kwadratu) ma pole równe 1, skąd możemy wnioskować że pola naszych figur nie można zdefiniować używając podejścia Jordana.
  • Istnienie nietrywialnej funkcji, którą dałoby się zmierzyć dowolną figurę i która dla dowolnego ciągu przeliczalnego rozłącznych figur dawałaby wynik równy ich sumie jest niedowodliwe w standardowym systemie aksjomatów ZFC.
  • Zbiór Vitalego i zbiór Bernsteina (istniejące przy założeniu aksjomatu wyboru) są niemierzalne w sensie Lebesgue'a.
  • Przy założeniu aksjomatu wyboru istnieje skończenie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory przestrzeni.
  • Przy założeniu AD, wszystkie podzbiory przestrzeni euklidesowych są mierzalne w sensie Lebesgue'a.
  • Jeśli istnieje liczba mierzalna, to jest niesprzeczne że continuum jest rzeczywiście mierzalne i że istnieje miara na płaszczyźnie mierząca wszystkie jej podzbiory.

edytuj Definicja szkolna

Definicja używana w gimnazjach i szkołach średnich.

  1. Obieramy kwadrat o boku 1.
  2. Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostką pola.
  3. Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.

Definicja ta podaje tylko dolne oszacowanie pola powierzchni danej figury, którego dokładność zależy od kształtu figury.

edytuj Pole pod krzywą

Pole między krzywą daną równaniem y=f(x) a osią OX ograniczone prostymi x=a i x=b, a≤b jest równe całce oznaczonej

S=\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx

edytuj Pola typowych figur

S=\frac{nar}{2}=nr^2\,\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}=\frac{n}{2}R^2\sin\frac{2\pi}{n}=\frac{n}{4}a^2\,\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}
S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2

edytuj Zobacz też

HOT NEWS !


Mariusz Kamiński nie jest już funkcjonariuszem Centralnego Biura Antykorupcyjnego - ustalili reporterzy śledczy RMF FM. Nowy szef CBA zwolnił swojego poprzednika ze służby na mocy nowej ustawy o CBA. Weszła ona w życie w ubiegły czwartek. [read more]


13-letnia Agata z gimnazjum nr 6 w Krakowie, która na przerwie zraniła nożem swoją rówieśniczkę, wcześniej również zaatakowała ostrym narzędziem inną dziewczynkę - ustalili reporterzy RMF FM. Doszło do tego w ubiegłym roku w Szkocji. Tam nastolatka chodziła do szkoły. Za granicą przebywała z rodzicami przez kilka miesięcy. [read more]


Obrona Elżbiety Jakubiak to sprawa honoru. Zgodnie z wezwaniem Jarosława Kaczyńskiego, jestem lojalna wobec swojej najbliższej współpracowniczki- powiedziała Joanna Kluzik-Rostkowska, gość "Kontrwywiadu RMF FM". Wczoraj Elżbieta Jakubiak została zawieszona w prawach członka PiS. - Jestem gotowa na wszystko, także na odejście z partii - podkreśliła Kluzik-Rostkowska. [read more]


Po skargach na dramatyczny stan sanitarny wielu pociągów i dworców, postanowiliśmy interweniować w imieniu słuchaczy RMF FM. W wielu pociągach po prostu nie da się wytrzymać - można się przykleić do brudnych siedzeń albo zemdleć od zapachów w tak zwanej toalecie. [read more]


Po skargach słuchaczy reporterka RMF FM Barbara Zielińska sprawdziła, jak wyglądają toalety pociągu Gdynia-Wrocław po 10-godzinnej podróży. Jak się okazało - zapach zabija, wody brak, a po czystej podłodze zostało tylko wspomnienie. A wszystko dlatego, że toalety w ogóle nie są sprzątane w czasie podróży. [read more]


ca | de | en | es | fr | it | nl | no | pl | pt | ru | ro | fi |